البحث في المنطق في الرياضيات Fفي حين أن (المنطق) قد يشير ببساطة إلى التفكير المنطقي الصحيح في الحياة اليومية ، فهو أيضًا أحد أقدم فروع الرياضيات وأكثرها رسوخًا ، وغالبًا ما يخلط الناس بين الحدود بين المنطق والفلسفة.
مقدمة بحثية عن المنطق في الرياضيات
في بداية بحثنا ، سنبدأ بتعريف المنطق في الرياضيات ، لننتقل إلى شرح الاختلافات وكل الخلط بين المنطق الرياضي والفلسفي ، ثم نرفق لك معلومات عن تاريخ المنطق الرياضي وميزة أرسطو في وضع أسس هذا المنطق ، وعلى علم المنطق الرياضي الحديث وآفاقه وآليته ، وننهي بحثنا بأهمية الرياضيات في حياتنا اليومية.
بحث عن المنطق في الرياضيات
يتعلق المنطق بعلوم الكمبيوتر النظرية من خلال النظرية الحسابية ونظرية الإثبات ، ونظرية الجبر والأرقام ، والهندسة الجبرية من خلال نظرية وتحليل النموذج ، والنظرية الإرجودية من خلال نظرية المجموعات والتوافقيات اللانهائية. القضايا التأسيسية في الرياضيات.
ما هو المنطق في الرياضيات
المنطق الرياضي أو المنطق الرمزي هو أحد فئات الرياضيات التي تتعلق بأساسيات الرياضيات وعلوم الكمبيوتر النظرية بالإضافة إلى المنطق الفلسفي. المنطق هو دراسة الحقيقة وكيفية الحصول على حقائق عامة من خلال الاستنتاج الرياضي ، وهي اللغة الأساسية للرياضيات والمبدأ الأساسي للإثبات.
الفرق بين المنطق الفلسفي والمنطق الرياضي
يمكن التمييز بين المنطق الفلسفي والمنطق الرياضي في عدة نقاط ، وهي كالتالي:
- في التفكير الفلسفيالافتراضات هي عبارات بسيطة يمكن أن تكون إما صحيحة أو خاطئة. أيضًا ، لا يجب أن تكون مقترحاتك معقدة ، فقد تكون قصيرة مثل كل الصناديق صفراء أو تحب جودي كل الأشياء الوردية. اقتراحك هو أي بيان يمكن تصنيفها على أنها صحيحة أو خاطئة.
- في المنطق الرياضيتتضمن الاقتراحات عادةً رموزًا رياضية ، على سبيل المثال في الهندسة ، يمكن أن يكون لديك اقتراح يقول أن السطر AB هو منصف خط القرص المضغوط مع الرمز الرياضي المقابل للخطوط بدلاً من سطر الكلمة وفي الجبر أيضًا يمكن أن يكون اقتراحك بسيطًا مثل x = 2 ، اعتمادًا على نوع الرياضيات التي تقوم بها ؛ يمكن أن يكون لديك مجموعة من الكلمات مع رموز رياضية أو جميع الرموز الرياضية ، والأهم من ذلك هو أن اقتراحك المنطقي يمكن وصفه بأنه إما صحيح أو خطأ.
تاريخ المنطق الرياضي
يعود المنطق الرياضي والتفكير إلى آلاف السنين ، خاصةً في زمن المهندسين المعماريين المصريين القدماء وعلماء الفلك البابليين ، وأيضًا إلى تطوير التفكير المنطقي بشكل مستقل في الهند والصين ، وبعد قرون ، كانت مجموعات مختلفة من علماء الرياضيات والفلاسفة اليونانيين تناقش الطبيعة الحقيقة في محاولة لتطوير نظام رسمي للمنطق والاستنتاج الرياضي ، وقد حملت معه أفكار أفلاطون وأرسطو وكثيرين غيرهم عبر العصور الوسطى ، والتي أحياها علماء مثل القديس على غرار ما نستخدمه. اليوم ، أصبح المنطق متشابكًا بشكل وثيق مع مفاهيم مثل البديهيات والبرهان واللانهاية أو مجموعات الأرقام.
فضل أرسطو وضع أسس المنطق الرياضي
كانت فكرة المنطق إنجازًا رئيسيًا لأرسطو في جهوده لإنتاج قوانين صالحة للاستدلال الرياضي. كان أرسطو قادرًا على تدوين وتنظيم هذه القوانين في مجال دراسة منفصل. تركز المبادئ الأساسية للمنطق على قانون التناقض الذي ينص على أن العبارة لا يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة وقانون الوسط المستبعد الذي يؤكد أن العبارة يجب أن تكون إما صحيحة أو خاطئة ، ومفتاح استدلاله هو أن أرسطو استخدم أمثلة رياضية مأخوذة من النصوص المعاصرة في ذلك الوقت لتوضيح مبادئه ، وعلى الرغم من أن علم المنطق مشتق من الرياضيات ، فقد اعتبر المنطق في النهاية دراسة مستقلة عن الرياضيات ولكنه قابل للتطبيق على جميع أنواع التفكير.
آفاق علم المنطق الرياضي الحديث
يمتد علم المنطق الحديث ليشمل آفاقًا أوسع بكثير من منطق أرسطو ، حيث طور علماء المنطق الحديثون نظريات وأساليب تهدف إلى التعامل مع القضايا الاستنتاجية بطريقة مختلفة تمامًا عن الاستقراء المطلق. جورج بول وألفريد نورث وايتهيد عالمان بريطانيان من الشخصيات البارزة في المنطق الحديث ، يليهما الفيلسوف البريطاني برتراند راسل ، واستخدم هؤلاء المنطقيون مناهج وأساليب رياضية تستخدم الرموز على عكس المنطقين التقليديين ، واليوم يستخدم علم المنطق بشكل أساسي للاختبار سلامة القضايا ، بالإضافة إلى استخداماتها المهمة في مجال العمل مع العديد من الأجهزة مثل أجهزة الكمبيوتر والدوائر الكهربائية ، ولكي يختبر المنطق سلامة قضية ما ، يقوم أولاً بتحليل عباراتها ، وصياغتها ، و يعبر عنها في شكل رموز رياضية. في الرياضيات ، يتم استخدام كل حرف أو رمز في حالة الرموز لكلمة أو لجملة كاملة في كثير من الحالات. المنطق عبارة مثل: “سقراط الحكيم” في شكل “hs” ، ومن ثم يطبق المنطق قواعد الاستنتاج أحيانًا أو قواعد الاستدلال ، لتحديد المعادلات الجديدة التي يمكن استنتاجها من المقدمات الأصلية ، و يستمر المنطق في استنتاج المعادلات حتى يصل إلى نتيجة.
آلية المنطق الرياضي الرمزي الحديث
المنطق الرمزي الحديث هو تطوير وتحديث وتصحيح للمنطق التقليدي ، وهذا النوع من المنطق يقوم على اشتقاق قوانين منطقية من أقلية من المبادئ (البديهيات والقوانين) بطريقة دقيقة وكاملة للغاية ، بمعنى أكثر دقة. إنه نظام استنتاجي يبدأ من أماكن معينة وينتهي بالنظريات الضرورية عنها. الاعتماد على قواعد خاصة ، واستخدام لغة منطقية رمزية فقط ، ويعود ظهورها إلى لايبنتز أولاً ثم جورج بول الثاني بين عامي (1815 و 1864) والتي طورها فريجه ، فيتجنشتاين ، كارناب وغيرهم ، وأحياناً يسمى الجبر الرمزي أو الرياضي أو الاستنتاجي أو النظري أو المنطقي ، ويسمى أيضًا بالمنطق اللوغاريتمي أو الشعار-siqa ، ويتم تصنيع هذه التسميات وفقًا للغرض من هذا التعيين ، وعلى يد راسل وايتهيد تم إكمال هذا المنطق ، و كان المنطق الرياضي الرمزي نتيجة محاولتهم المزج بين المنطق والرياضيات حيث طوروا المنطق الرياضي للوصول إلى المنطق الرمزي ، والذي يقوم على أساسه وهو يركز على استخدام نوعين من الرموز ، وهما الثوابت والمتغيرات. يتكون من أربعة مواضيع أساسية:
- منطق الحالة: الذي يستخدم المتغيرات القضائية في دراسة قيمة صدق القضية كوحدة دون النظر إلى مكوناتها ، ثم البحث عن الروابط بينها ، معتمداً على ثوابت النفي والتعاطف والانفصال والضرورة والتكافؤ ، مما يشكل من دلالات الصدق ، ثم يتابع دراسة الصلاة بين هذه الدلائل ليتم استكمالها كنظام استنتاجي ومكوناته أفكار أولية ومصادرة وقواعد خاصة بالخصم. ثم ينوي إثبات جميع نظرياته ، كما يدرس الاستدلال بكلا النوعين ، من خلال صياغته في شكل دلائل صدق ، حتى يتمكن من اختبار صحتها بقوائم صحتها ، كما يميز بعض حالات التباين غير الصحيحة. مثل بعض المقارنات الفاسدة التي صححها عمدًا.
- منطق المسند: من يدرس القضايا مع مراعاة مكوناتها ، باستخدام المتغيرات والرموز الحدية لجدران الحالات ، معتمداً على الثوابت المنطقية السابقة ، لبحث وتطوير قضايا المنطق التقليدي باستخدام هذه الأدوات.
- منطق الفئات: هذا المنطق يدرس القضايا كربط بين فئتين ، أحدهما يشير إليه الموضوع والآخر يشير إليه المحمول ، ويصوغ جميع الاستنتاجات في شكل معادلات جبرية ، لاختبار صحتها إما بأشكال هندسية أو مع إثبات حسابي . ينتهي الأمر ببناء نمط استنتاجي يتكون من مباني الفكرة الأساسية مثل فئة الصفر ، والفئة الشاملة ، والفئة التكميلية ، وبعض التعاريف والمصادر الخاصة المأخوذة من العمليات الجبرية على الفئات. التنسيق عبارة عن متغيرات فئوية ، بمعنى أكثر دقة ، كل منها يشير إلى فئة ، بالإضافة إلى احتوائه على رموز خاصة للثوابت.
- منطق العلاقة: الذي يبحث في العلاقات من خلال الأفكار الأولية التي تقوم عليها ، ويركز أيضًا على عمليات تجميع ومضاعفة العلاقات ، وسرقة العلاقة وعكس العلاقة والهوية والتضمين بين العلاقات ، ويصنف العلاقات نوعياً إلى: انعكاسية ، متناظرة ومتعدية وترابطية وكميًا وفقًا لعدد حدودها إلى: علاقة واحدة مع العديد وعلاقة واحدة كثيرة …